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Mathematik

von T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger,  H. Stachel

(zu Kapitel 5: Komplexe Zahlen)

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Komplexe Zahlen

Der Grossbuchstabe I ist in Maple fuer imaginaere Zahlen reserviert. Komplexe Zahlen lassen sich also wie folgt angeben.

> z:=2+3*I; u:=1-I;

z := 2+3*I

u := 1-I

Die ueblichen Operationen stehen direkt zur Verfuegung.

> z-u; z*u; z/u; conjugate(z); abs(z);

1+4*I

5+I

-1/2+5/2*I

2-3*I

13^(1/2)

Das konjugiert Komplexe einer Unbekannten wird wie  mit dem Querstrich angegeben.

> conjugate(v);

conjugate(v)

Wie wir bereits gesehen haben, arbeitet der Befehl solve zum Loesen von Gleichungen im Allgemeinen komplexwertig, so dass Sie z.B. nun die Angabe des  Resultats bei einer quadratischen Gleichung verstehen koennen.

> solve(x^2+x+1=0,x);

-1/2+1/2*I*3^(1/2), -1/2-1/2*I*3^(1/2)

Beachten Sie, dass das erste Argument in diesem Befehl die zu loesende Gleichung beinhaltet und das zweite Argument die Variable angibt, nach der die Gleichung aufgeloest werden soll.

Auch bei komplizierteren Gleichungen laesst sich der solve Befehl anwenden. Betrachten wir etwa das Beispiel der Gleichung

(z+1)^5 = (z-1)^5

Wir erhalten die Loesungen:

> z:='z';
solve((z+1)^5=(z-1)^5,z);

z := z

-1/5*(-25+10*5^(1/2))^(1/2), 1/5*(-25+10*5^(1/2))^(1/2), -1/5*(-25-10*5^(1/2))^(1/2), 1/5*(-25-10*5^(1/2))^(1/2)

Der Real- und der Imaginaerteil einer komplexen Zahle ergibt sich aus

> Re(u);
Im(u);

1

-1

Der Befehl evalc trennt formal den Real- und den Imaginaerteil eines Ausdrucks. So erhalten wir etwa fuer die 3. Potenz einer komplexen Zahl

> evalc((a+I*b)^3);

a^3-3*a*b^2+I*(3*a^2*b-b^3)

Die Polarkoordinaten einer komplexen Zahl liefert uns der Befehl polar

> polar(u);

polar(2^(1/2), -1/4*Pi)

Nun wollen wir uns noch Abbildungseigenschaften von komplexen Funktionen

f: C -> C

veranschaulichen. Zum Beispiel die Multiplikation mit einer komplexen Zahl.

> f:=z -> (1+I)*z;

f := proc (z) options operator, arrow; (1+I)*z end proc

Der Graph einer solchen Funktion liegt im Vierdimensionalen. Wir muessen uns also etwas anderes ueberlegen, um einen Eindruck von den Abbildungseigenschaften zu bekommen.

Eine Moeglichkeit besteht darin, sich die Bilder von Teilmengen der komplexen Zahlenebene zu veranschaulichen.

Betrachten wir etwa das Bild einer Ellipse unter der Abbildung f . Alle Punkte auf der Ellipse  beschreiben wir mit einen Parameter t durch

         z(t) = cos(t)+I*sin(t)/2 ,

wobei t im Intervall [0, 2*Pi] laeuft. Mit dieser "Parametrisierung" und der parametrischenVariante des plot Befehls koennen wir uns die Mengen ansehen:

> with(plots):
g:= t -> f(cos(t) + I/2*sin(t));

p1:=plot([Re(g(t)),Im(g(t)),t=0..2*Pi],color=red,scaling=constrained):

p2:=plot([cos(t),1/2*sin(t),t=0..2*Pi],color=blue,scaling=constrained):

display(p1,p2,thickness=3);

Warning, the name changecoords has been redefined

g := proc (t) options operator, arrow; f(cos(t)+1/2*I*sin(t)) end proc

[Plot]

Dabei haben wir das Urbild (die Ellipse) blau einzeichnen lassen und die Bildmenge ist rot. Deutlich sieht man, dass die Abbildung die Ellipse streckt und um den Winkel Pi/2 dreht.

Bemerkung: Die Option  
scaling=CONSTRAINED  laesst Kreise wirklich als Kreise im Bild erscheinen

>

Aufgaben

(Um Aufgaben zu bearbeiten oeffnen Sie bitte ein neues Worksheet und probieren Sie dort ihre Befehle aus. Einen Loesungsvorschlag erhalten Sie, wenn sie die Loesung oeffnen. Dies sollten Sie aber erst nach eigenen Versuchen nutzen.)

1. Loesen Sie die quadratische Gleichung  x^2+5*x+12 = 0 und belegen Sie zwei Variablen mit den beiden Wurzeln der Gleichung ohne diese explizit einzugeben.

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Loesung

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2
. a) Geben Sie zu z = 1+I  folgende Werte an:   conjugate(z) ,   -z ,   z*conjugate(z) ,   1/z ,   z-conjugate(z)   und   abs(z) .

b) Bestimmen Sie das Argument folgender Zahlen:

z[1] = sqrt(3)+I ,      z[2] = -1/4+sqrt(3)*I/4 ,     z[3] = -I .

>

Loesung

3. Zeichnen Sie das Bild der Geraden   z = 1+t+I*t   in der komplexen Zahlenebene  unter der Abbildung

f(z) = 1/z

>

Loesung

4. Veranschaulichen Sie  in der komplexen Zahlenebene die Menge der Bilder der Zahlen mit |z|=1 unter der Abbildung

f(z) = -2/(2*z+3-i) .

>

Loesung

>