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Mathematik

von T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger,  H. Stachel

(zu Kapitel 8/9:  Reihen / Potenzreihen)

> restart;

Reihen und Potenzreihen

Die Befehle zur Berechnung von Partialsummen und den Grenzwerten von Reihen (falls sie konvergieren) stehen uns inzwischen zur Verfuegung. So ergibt sich zum Beispiel fuer die alternierende Reihe

> sum((-1)^(j+1)/j,j=1..infinity);

ln(2)

und wir koennen die (langsame) Konvergenz der Partialsummen aus folgender Tabelle erahnen  (vergleiche mit dem Leibniz Kriterium).

> for n from 1 by 1 to 20 do
  sn:=evalf( abs(ln(2) - sum((-1)^(j+1)/j,j=1..n) ) );
od;

sn := .3068528194

sn := .1931471806

sn := .1401861527

sn := .1098138473

sn := 0.901861527e-1

sn := 0.764805139e-1

sn := 0.663766289e-1

sn := 0.586233711e-1

sn := 0.524877400e-1

sn := 0.475122600e-1

sn := 0.433968309e-1

sn := 0.399365024e-1

sn := 0.369865745e-1

sn := 0.344419969e-1

sn := 0.322246698e-1

sn := 0.302753302e-1

sn := 0.285481992e-1

sn := 0.270073564e-1

sn := 0.256242226e-1

sn := 0.243757774e-1

Dies zeigt, dass es notwendig ist, sich zunaechst ueber Konvergenz bzw. Divergenz einer Reihe im klaren zu werden. Ein weiteres Beispiel bilden die divergenten Partialsummen zur harmonischen Reihe.  

> evalf(sum(1/j,j=1..100)); evalf(sum(1/j,j=1..1000)); evalf(sum(1/j,j=1..10000));

5.187377518

7.485470861

9.787606036

Ein sehr viel besseres Konvergenzverhalten  zeigen  z.B. die Potenzreihen zu cos und sin.

> exp(I*Pi);

-1

> for n from 1 by 1 to 12 do
   evalf(sum((I*Pi)^j/j!,j=0..n));
od;

1.+3.141592654*I

-3.934802202+3.141592654*I

-3.934802202-2.026120129*I

.123909927-2.026120129*I

.123909927+.524043913*I

-1.211352843+.524043913*I

-1.211352843-0.752206169e-1*I

-.9760222124-0.752206169e-1*I

-.9760222124+0.692526980e-2*I

-1.001829104+0.692526980e-2*I

-1.001829104-0.445161158e-3*I

-.9998995297-0.445161158e-3*I

Wir koennen uns nun auch die  Graphen der  Real- und Imaginaerteile der komplexwertigen Funktionen verdeutlichen.

> f:=(x,y)->Re(cos(x+I*y));

f := proc (x, y) options operator, arrow; Re(cos(x+I*y)) end proc

> plot3d(f,-2*Pi..2*Pi,-2..2,axes=boxed);

[Plot]

Um zu einer gegebenen Funktion eine Potenzreihe zu finden, wenn sie existiert, laesst sich die sogenannte Taylorreihe bestimmen. Diesen Befehl werden wir im Kapitel zum Differenzieren genau erarbeiten. Allgemein bietet Maple den Befehl series an, der eine Entwicklung einer gegebenen Funktion zu ermitteln versucht. (Wenn moeglich wird eine Taylorreihe bestimmt, aber es wird auch nach  allgemeineren Entwicklungen gesucht.)

> series(sin(x),x=Pi/2);

series(1-1/2*(x-1/2*Pi)^2+1/24*(x-1/2*Pi)^4+O((x-1/2*Pi)^6),x = 1/2*Pi,6)

Die Bezeichnung O(y^n)   (Landausymbol)  besagt, dass der Rest der Reihe sich wie y^6 verhaelt, wenn proc (y) options operator, arrow; 0 end proc geht, d.h. durch c*y^6 mit einer Konstanten 0 < c  abgeschaetzt werden kann.

> series(x^x,x=0);

series(1+ln(x)*x+1/2*ln(x)^2*x^2+1/6*ln(x)^3*x^3+1/24*ln(x)^4*x^4+1/120*ln(x)^5*x^5+O(x^6),x,6)

>

Aufgaben

(Um Aufgaben zu bearbeiten oeffnen Sie bitte ein neues Worksheet und probieren Sie dort ihre Befehle aus. Einen Loesungsvorschlag erhalten Sie, wenn sie die Loesung oeffnen. Dies sollten Sie aber erst nach eigenen Versuchen nutzen.)

1. Bestimmen sie die Grenzwerte der Reihensum(a_n, n = m .. infinity)   mit

a)   m=1,                  a[n] = (-1)^n/(n*(n+4))

b)    m=0,                          a[n] = 1/(factorial(n)^2)

c)   m=1,                  a[n] = 1/(n*(n+1))

d)    m=1,                          a[n] = 1/n^n

e)   m=0,                    a[n] = n/(2*n+1)

f)  m=3,      a[n] = (2*n+6)/(n*(n+1)*(n+2)) .

>

Loesung

2.  Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen

   sum(x^n/sqrt(n+1), n = 0 .. infinity)   und  sum((n+1)*((1-x)/2)^n, n = 1 .. infinity) .

>

Loesung

3. Veranschaulichen Sie sich den Imaginaerteil des Hauptzweiges der  komplexen Logarithmusfunktion.

>

Loesung

>