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Mathematik

von T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger,  H. Stachel

(zu Kapitel 17: Lineare Abbildungen)

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Darstellungsmatrizen

Wir versuchen uns eine lineare Abbildung zu veranschaulichen. Nehmen  wir  zum Beispiel das Bild des Quadrats mit den Eckpunkten

x1 = (1, 0)^T ,  x2 = (0, 1)^T , x3 =(-1, 0)^T ,  x4 = (0, -1)^T

Sammeln wir diese Vektoren spaltenweise in einer Matrix.

> x:=matrix(2,4,[[1,0, -1, 0],[0, 1, 0, -1]]);

x := matrix([[1, 0, -1, 0], [0, 1, 0, -1]])

Als  lineare Abbildung waehlen wir die durch die Darstellungsmatrix

> A:=matrix(2,2,[[1,-1/2],[1/2,0]]);

A := matrix([[1, (-1)/2], [1/2, 0]])

gegebene Abbildung. Die Bildpunkte ergeben sich aus dem Produkt von A mit jedem dieser Vektoren. Nutzen wir die  Matrixmultiplikation, so erhalten wir

> y:=evalm(A&*x);

y := matrix([[1, (-1)/2, -1, 1/2], [1/2, 0, (-1)/2, 0]])

Die Spalten dieser Matrix sind die Bilder der Vektoren in x unter dieser linearen Abbildung.

Betrachten wir nun das Bild eines  Quadrat (blau). Das abgebildete Objekt wird rot dargestellt. Beachten Sie, da die Abbildung linear ist. Daher genuegt es,  die Bilder der Eckpunkte zu kennen,  da die  Verbindungsstrecken erhalten bleiben.

> plot1points := [seq( [x[1,i], x[2,i]], i=1..4 ),[x[1,1], x[2,1]]]:
plot2points := [seq( [y[1,i], y[2,i]], i=1..4 ),[y[1,1], y[2,1]]]:
plot1 := plot(plot1points,x=-1..1,y=-1..1,color=blue,style=line):
plot2 := plot(plot2points,x=-1..1,y=-1..1,color=red,style=line):
plots[display]([plot1,plot2]);

[Plot]

Bemerkung: Um das Bild zu erzeugen, musste zunaechst mit Hilfe des  Befehls seq  eine Liste der Koordinaten der Eckpunkte erstellt werden, bevor mit dem plot Befehl die Bilder erzeugt wurden. Das Kommando  plots[display] ruft den display Befehl des plots Pakets auf

Analog koennen wir uns auch eine Drehung etwa um Pi/3 klar machen. Wir geben die zugehoerige Darstellungsmatrix ein:

> w:=Pi/3;
A:=array([[cos(w),sin(w)],[-sin(w),cos(w)]]);

w := 1/3*Pi

A := matrix([[1/2, 1/2*3^(1/2)], [-1/2*3^(1/2), 1/2]])

und erhalten

> y:=evalm(A&*x);

y := matrix([[1/2, 1/2*3^(1/2), (-1)/2, -1/2*3^(1/2)], [-1/2*3^(1/2), 1/2, 1/2*3^(1/2), (-1)/2]])

und das gedrehte Bild des Quadrats:

> plot1points := [seq( [x[1,i], x[2,i]], i=1..4 ),[x[1,1], x[2,1]]]:
plot2points := [seq( [y[1,i], y[2,i]], i=1..4 ),[y[1,1], y[2,1]]]:
plot1 := plot(plot1points,x=-1..1,y=-1..1,color=blue,style=line):
plot2 := plot(plot2points,x=-1..1,y=-1..1,color=red,style=line):
plots[display]([plot1,plot2]);

[Plot]

Einige weitere Befehle zu  linearen Abbildungen stehen zur Verfuegung. So koennen wir den Kern einer Abbildung bzw. der zugehoerigen Darstellungsmatrix durch den Befehl kernel aus dem linalg Paket bestimmen lassen.

> A:= matrix(4,4,[[1,2,3,4],[2,3,4,5],[3,4,5,6],[4,5,6,7]]);
linalg[kernel](A);

A := matrix([[1, 2, 3, 4], [2, 3, 4, 5], [3, 4, 5, 6], [4, 5, 6, 7]])

{vector([1, -2, 1, 0]), vector([2, -3, 0, 1])}

Die Ausgabe bedeutet, dass der Kern dieser Abbildung gerade der durch die angegebenen beiden Vektoren aufgespannte Unterraum ist.

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Aufgaben

1. Veranschaulichen Sie sich das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten

x1 = (1, 0)^T ,  x2 = (1, 1)^T , x3 = (0, 1)^T

bei einer Spiegelung an der Geraden, die durch die Hessesche Normalform

(3*x_1+4*x_2)/25 = 0

gegeben ist.

>

Loesung

2. Eine lineare Abbildung v:R^3 ->R^3 hat bezueglich der Basis

                                         b1 = (1, 1, 1)^T , b2 = (1, 0, 1)^T und b3 = (1, 1, 0)^T
die Darstellungsmatrix

            [   1     2   3 ]

       A=[   1     0   1 ]

            [ -1   -1   2 ]

Wie lautet die Darstellungsmatrix der Abbildung bezueglich der Standartbasis?

>

Loesung

>